lunes, 22 de noviembre de 2010
Inecuación
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida a lo que se quieren referir al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase identidad).
Si por el contrario, el signo comparativo es el mismo y que sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o cambia para otros valores, será una inecuación "condicional".
El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número real, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si a ambos miembros se les multiplica o divide por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida a lo que se quieren referir al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase identidad).
Si por el contrario, el signo comparativo es el mismo y que sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o cambia para otros valores, será una inecuación "condicional".
El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número real, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si a ambos miembros se les multiplica o divide por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.
Ecuación
Ecuación es una igualdad literal que sólo es cierta para algunos valores de las letras.
La letra o letras desconocidas de una ecuación se llaman incógnitas. En la ecuación x + 2 = 9 la incógnita es x. La incógnita de una ecuación se puede designar con cualquier letra, pero en general se utiliza la letra x
Soluciones de una ecuación son los números que la verifican, es decir, los números que convierten la ecuación en una igualdad de números cierta.
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones
Así la ecuación x + 4 = 12 sólo se verifica si x = 8. Se dice que 8 es la solución de la ecuación
Términos de una ecuación son los sumandos que tienen cada miembro de la ecuación, pueden ser términos en x, y términos independientes
Por ejemplo la ecuación: 3x - 1 = x + 3
Primer miembro: 3x - 1
Segundo miembro: x + 3
Términos en x: 3x, x
Términos independientes: -1, 3
Transposición de términos: Pasar términos de un miembro a otro de una igualdad según las siguientes reglas:
El término que está sumando en un miembro, pasa al otro restando, y viceversa. Si está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo, o viceversa. Ej:
La letra o letras desconocidas de una ecuación se llaman incógnitas. En la ecuación x + 2 = 9 la incógnita es x. La incógnita de una ecuación se puede designar con cualquier letra, pero en general se utiliza la letra x
Soluciones de una ecuación son los números que la verifican, es decir, los números que convierten la ecuación en una igualdad de números cierta.
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones
Así la ecuación x + 4 = 12 sólo se verifica si x = 8. Se dice que 8 es la solución de la ecuación
Términos de una ecuación son los sumandos que tienen cada miembro de la ecuación, pueden ser términos en x, y términos independientes
Por ejemplo la ecuación: 3x - 1 = x + 3
Primer miembro: 3x - 1
Segundo miembro: x + 3
Términos en x: 3x, x
Términos independientes: -1, 3
Transposición de términos: Pasar términos de un miembro a otro de una igualdad según las siguientes reglas:
El término que está sumando en un miembro, pasa al otro restando, y viceversa. Si está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo, o viceversa. Ej:
Número complejo
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
Conjuntos Numéricos
Principales conjuntos numéricos :
Números Naturales
La necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Enteros
La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por y estan formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, .
.
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Racionales
La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y . Estos pueden ser enteros (en el caso en que q = 1), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, .
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Irracionales
La insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Se denotan por [1] y son el conjunto de los números decimales infinitos no periódicos, es decir todos aquellos que no se pueden expresarse de la forma .
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Reales
El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales:
.
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Complejos
La insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por . Las raíces del polinomio anterior son y , de manera que definimos el número para poder trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: . Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma:
donde y son números reales. Denominamos a parte real del complejo y a parte imaginaria.
Cuando , z es un número real, y cuando , z es un número imaginario puro.
De aquí deducimos que los números reales están incluídos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:
Estos números se suelen representar como vectores en un gráfico donde el eje x es la parte real del número y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binómica y de forma polar.
Así podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:
El producto de complejos es:
En forma binómica:
En forma polar:
El cociente de complejos es:
En forma binómica:
En forma polar:
La raíz enésima de un complejo es:
En forma polar:
Las raíces enésimas de un complejo son los vértices del polígono regular de n lados.
Más informacion en Wikipedia en español.
Números Naturales
La necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Enteros
La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por y estan formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, .
.
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Racionales
La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y . Estos pueden ser enteros (en el caso en que q = 1), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, .
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Irracionales
La insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Se denotan por [1] y son el conjunto de los números decimales infinitos no periódicos, es decir todos aquellos que no se pueden expresarse de la forma .
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Reales
El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales:
.
Más informacion en Wikipedia en español.
[editar]Números Complejos
La insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por . Las raíces del polinomio anterior son y , de manera que definimos el número para poder trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: . Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma:
donde y son números reales. Denominamos a parte real del complejo y a parte imaginaria.
Cuando , z es un número real, y cuando , z es un número imaginario puro.
De aquí deducimos que los números reales están incluídos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:
Estos números se suelen representar como vectores en un gráfico donde el eje x es la parte real del número y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binómica y de forma polar.
Así podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:
El producto de complejos es:
En forma binómica:
En forma polar:
El cociente de complejos es:
En forma binómica:
En forma polar:
La raíz enésima de un complejo es:
En forma polar:
Las raíces enésimas de un complejo son los vértices del polígono regular de n lados.
Más informacion en Wikipedia en español.
miércoles, 23 de junio de 2010
lunes, 7 de junio de 2010
Matematica
Matemáticas
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Euclides, matemático griego, del siglo III a. C., tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de Atenas.[1]Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).[2] Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones,[3] [4] formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.[5]
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".[6] Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".[7]
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico (véase: Historia de la matemática). Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.
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Euclides, matemático griego, del siglo III a. C., tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de Atenas.[1]Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).[2] Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones,[3] [4] formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.[5]
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".[6] Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".[7]
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico (véase: Historia de la matemática). Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.
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